2000年普通高等学校招生全国统一考试 数学试题（理工农医类）参考解答及评分标准 　 　　说明： 　　一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则。 　　二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。 　　三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。 　　四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分。 　　一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分60分。 　　（1）C　　（2）B　　（3）D　　（4）D　　（5）D　　（6）C 　　（7）B　　（8）C　　（9）A　　（10）C　 （11）C　 （12）D 　　二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分。 　　（13）252 　　（14）　　　（15）　　　（16）②③ 　　三、解答题 　　（17）本小题主要考查三角函数的图象和性质，考查利用三角公式进行恒等变形的技能以及运算能力。满分12分。 　　解：（I） 　　　　　　　 　　　…………6分 　　y取得最大值必须且只需 　　 　　即 　　所以当函数y取得最大值时，自变量x的集合为 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　…………8分 　　（II）将函数y=sinx依次进行如下变换： 　　（i）把函数y=sinx的图象向左平移，得到函数的图象； 　　（ii）把得到的图象上各点横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象； 　　（iii）把得到的图象上各点纵坐标缩短到原来的倍（横坐标不变），得到函数的图象； 　　（iv）把得到的图象向上平移个单位长度，得到函数的图象； 　　综上得到函数的图象。　　　　　　　　　　　………………12分 　　（18）本小题主要考查直线与直线、直线与平面的关系，逻辑推理能力，满分12分。 　　（I）证明：连结、AC，AC和BD交于O，连结 　　∵四边形ABCD是菱形 　　∴AC⊥BD，BC=CD 　　又 　　 　　 　　∵DO=OB 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　………………2分 　　但AC⊥BD， 　　 　　又 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　………………4分 　　（II）解：由（I）知AC⊥BD， 　　是二面角α BD β的平面角 　　在中，BC=2，， 　　　　　　　　　　　　　　　　　………………6分 　　∵∠OCB=60° 　　 　　 　　 　　作，垂足为H。 　　∴点H是OC的中点，且， 　　所以。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　………………8分 　　（III）当时，能使 　　证明一： 　　∵ 　　 　　又 　　由此可推得 　　∴三棱锥是正三棱锥。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　………………10分 　　设相交于G. 　　 　　 　　又是正三角形的BD边上的高和中线, 　　∴点G是正三角形的中心。 　　 　　即。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　………………12分 　　证明二： 　　由（I知， 　　。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　………………10分 　　当时，平行六面体的六个面是全等的菱形。 　　同的证法可得 　　又 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　………………12分 　　（19）本小题主要考查不等式的解法、函数的单调性等基本知识，分数计论的数学思想方法和运算、推理能力。满分12分。 　　解：（I）不等式f(x)≤1即 　　， 　　由此得1≤1+ax，即ax≥0，其中常数a>0 　　所以，原不等式等价于 　　 　　即　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　………………3分 　　所以，当0<a<1时，所给不等式的解集为； 　　当a≥1时，所给不等式的解集为{x|x≥0}　　　　　　　　　　　　　　　………………6分 　　（II）在区间[0，+∞)上任取，使得 　　　　　　　　　　　　　　　　　………………8分 　　（i）当a≥1时 　　 　　 　　又 　　 　　即 　　所以，当a≥1时，函数f(x )在区间[0，+∞)上是单调递减函数。　　　　　………………10分 　　（ii）当0<a<1时，在区间[0，+∞)上存在两点，满足，即，所以函数f(x)在区间[0，+∞)上不是单调函数。 　　综上，当且仅当a≥1时，函数f(x )在区间[0，+∞)上是单调函数。　　　　………………12分 　　（20）本小题主要考查等比数列的概念和基本性质，推理和运算能力，满分12分。 　　解：（I）因为是等比数列，故有 　　 　　将代入上式，得 　　　　　　　　　　　　　　……………………3分 　　即 　　整理得 　　解得p=2或p=3。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　……………………6分 　　（II）设的公比分别是p=q，p≠q， 　　为证不是等比数列只需证。 　　事实上，， 　　 　　由于p≠q，，又不为零， 　　因此，故不是等比数列。　　　　　　　　　　　　　　　　　……………………12分 　　（21）本小题主要考查由函数图象建立函数关系式和求函数最大值的问题，考查运用所学知识解决实际问题的能力，满分12分。 　　解：（I）由图一可得市场售价与时间的函数关系为 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　……………………2分 　　由图二可得种植成本与时间的函数关系为 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　……………………4分 　　（II）设t时刻的纯收益为h(t)，则由题意得 　　h(t)=f(t)-g(t) 　　即　　　　　　　　　　　　　　　　……………………6分 　　当0≤t≤200时，配方整理得 　　 　　所以，当t=50时，h(t)取得区间[0，200]上的最大值100； 　　当200<t≤300时，配方整理得 　　 　　所以，当t=300时，h(t)取得区间[200，300]上的最大值87.5。　　　　　　……………………10分 　　综上，由100>87.5可知，h(t)在区间[0，300]上可以取得最大值100，此时t=50，即从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　……………………12分 　　（22）本小题主要考查坐标法、定比分点坐标公式、双曲线的概念和性质，推理、运算能力和综合应用数学知识解决问题的能力，满分14分。 　　解：如图，以AB的垂直平分线为y轴，直线AB为x轴，建立直角坐标系xOy，则CD⊥y轴。 　　因为双曲线经过点C、D，且以A、B为焦点，由双曲线的对称性知C、D关于x轴对称。 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　………………2分 　　依题意，记A（-c，0），，其中为双曲线的半焦距，h是梯形的高。 　　由定比分点坐标公式得 　　 　　。 　　设双曲线的方程为，则离心率。 　　由点C、E在双曲线上，将点C、E的坐标和代入双曲线方程得 　　　　　　　　　　　 ① 　　 　　 ②　　　　　　　　　　　　　　　　……………………7分 　　由①式得 ③ 　　将③式代入②式，整理得 　　 　　故。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　……………………10分 　　由题设得， 　　解得 　　所以双曲线的离心率的取值范围为。　　　　　　　　　　　……………………14分