一、选择题:本题考查基本知识和基本运算.常规卷和A型卷答案
(1)A (2)D (3)B (4)B (5)A
(6)D (7)A (8)D (9)C (10)C
(11)A (12)C (13)B (14)C (15)D
二、填空题:本题考查基本知识和基本运算.
(16)π/4 (17){x│－2＜x＜1} (18)14/3 (19)
(20)3πa2三、解答题.
(21)本小题考查三角形函数式的恒等变形及三角函数的性质.
解:y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x
=(sin2x+cos2x)+2sinxcosx+2cos2x
=1+sin2x+(1+cos2x)
=2+sin2x+cos2x
=2+
sin(2x+π/4)当sin(2x+π/4)＝－1时，y取最小值2－
使y取最小值和集为{x│x＝kπ－3π/8 k∈z}
(22)本小题考查复数基本概念和运算能力.
解：
＝(3－i)/(2＋i)
＝1－i
1－i的模
＝因为1－i对应的点在第四象限，且幅角的正切tgθ＝－1，所以幅角的主值θ＝7π/4
(23)本小题考查直线与直线,直线与平面,平面与平面的位置关系,以及逻辑推理和空间想象能力.
解:如图,连结EG、FG、EF、BD、AC.EF、BD分别交AC于H、O. 因为ABCD是正方形,E、F分别为AB和AD的中
点,故EF∥BD,H为AO的中点.
BD不在平面EFG上.否则,平面EFG和平面ABCD重合,从而点G在平面的ABCD上,与题设矛盾.
由直线和平面平行的判定定理知BD∥平面EFG,
所以BD和平面EFG的距离就是点B到平面EFG的距离.
∵BD⊥AC,
∴EF⊥HC.
∵GC⊥平面ABCD,
∴EF⊥GC,
∴EF⊥平面HCG.
∴平面EFG⊥平面HCG,HG是这两个垂直平面的交线.
作OK⊥HG交HG于点K,由两平面垂直的性质定理知OK⊥平面EFG,所以线段OK的长就是点B到平面EFG的距.
离。
∴正方形ABCD的边长为4GC＝2
∴AC＝4
，HO＝，HC=3∴在RT△HCG中，HO＝
＝
由于RT△HKO和RT△HCG有一个锐角是公共的，故△HKO∽△HCG
∴OK＝(HO×CG)/HG＝(
×2)/＝(2
)/11即：点到平面EFG的距离为(2
)/11 注:未证明“BD不在平面EFG上”不扣分.
(24)本小题考查函数单调性的概念,不等式的证明,以及逻辑推理能力.
证法一:在(-∞,+∞)上任取x1,x２,且x1<x２,
则 f(x1)－f(x2)＝x13－x２3
＝（x1－x２)(x1２＋x1x２＋x２２)
∵x1<x2,
∴x1-x2<0.
当x1x2<0时，有(x12＋x1x2＋x22)＝（x1＋x2)2－x1x2＞0
当x1x2≥0时，有(x12＋x1x2＋x22)＞0
∴f(x1)－f(x2)＝（x1－x2)(x12＋x1x2＋x22)<0
即：f(x1) < f(x2)
∴函数f(x)=-x3+1在(-∞,+∞)上是减函数.
证法二:在(-∞,+∞)上任取x1,x2,且x1<x2,
则 f(x1)－f(x2)＝x13－x23
＝（x1－x2)(x12＋x1x2＋x22)
∵ x1<x2,
∴ x1-x2<0.
∵ x1,x2不同时为零,
∴x12＋x22＞0
又∵x12＋x22＞(x12＋x22)/2≥│x1x2│≥－x1x2
∴x12＋x1x2＋x22＞0
∴f(x1)－f(x2)＝（x1－x2)(x12＋x1x2＋x22)<0
即 f(x2)<f(x1).
∴函数f(x)=-x3+1在(-∞,+∞)上是减函数.
(25)本小题考查对数、数列、解不等式等基本知识,以及分析问题的能力.
解:利用对数换底公式,原不等式左端化为
＝［1－2＋4＋…(－2)n－1logax
＝
故原不等式可化为
①当n为奇数时，
，不等式①等价于logax＞loga(x2－a) ②
因为a>1,②式等价于
因为
所以，不等式②的解集为
当n为偶数时，
，不等式①等价于logax<loga(x2-a).
因为a>1,②式等价于
因为
所以，不等式②的解集为
综合得：当n为奇数时，原不等式的解集为
当n为偶数时，原不等式的解集为
(26)本小题考查双曲线性质,两点距离公式,两直线垂直条件,代数二次方程等基本知识,以及综合分析能力.
解法一：设双曲线的方程为：x2/a2－y2/b2＝1
依题意知,点P,Q的坐标满足方程组
将②式代入①式,整理得
(5b2-3a2)x2+6a2cx-(3a2c2+5a2b2)=0. ③
设方程③的两根分别为x1和x2，若5b2－3a2＝0，则
，即直线②与双曲线①的渐近线中的一条平行，故与双曲线只能有一个交点，与题设矛盾，所以5b2－3a2≠0。
根据根与系数的关系,有
由于P、Q在直线
上，可记为：
由OP⊥OQ得：
整理得3c(x1+x2)-8x1x2-3c2=0. ⑥
将④,⑤式及c2=a2+b2代入⑥式,并整理得
3a4+8a2b2-3b4=0,
(a2+3b2)(3a2-b2)=0.
因为 a2+3b2≠0,解得b2=3a2,
所以
由│PQ│＝4得：
整理得(x1+x2)2-4x1x2-10=0. ⑦
将④,⑤式及b2=3a2,c=2a代入⑦式,解得a2=1.
将a2 =1代入b2=3a2 得 b2=3.
故所求双曲线的方程x2－y2/3＝1
解法二:④式以上同解法一.
解方程式③得
④由于P、Q在直线
上，可记为：
由OP⊥OQ得：
⑤将④式及c2=a2+b2代入⑤式并整理得 3a4+8a2b2-3b4=0,
即 (a2+3b2)(3a2-b2)=0.
因a2+3b2≠0,解得b2=3a2.
由│PQ│＝4得：
即 (x2-x1)2=10. ⑥
将④式代入⑥式并整理得
(5b2-3a2)2-16a2b4=0.
将b2=3a2代入上式,得a2=1,
将a2=1代入b2=3a2得b2=3.
故所求双曲线方程为：x2－y2/3＝1