1992年试题(理工农医类)答案

一、选择题:本题考查基本知识和基本运算。

　　(1)A　　　　(2)D　　　　(3)D　　　　(4)B　　　　(5)D

　　(6)B　　　　(7)B　　　　(8)C　　　　(9)D　　　　(10)D

　　(11)B　　　(12)B　　　　(13)A　　　(14)D　　　　(15)D

　　(16)C　　　(17)A　　　　(18)C

二、填空题:本题考查基本知识和基本运算。

　　(19)x＝－1　　　　　　　(20)1/4　　　　　　　(21)15/128

　　(22)[(x－2)2/4]－[y2/12]＝1　　　　　　　　　　(23)13/16

三、解答案

(24)本小题考查复数相等的条件及解方程的知识.

　　解:设z=x+yi(x,y∈R).

　　将z=x+yi代入原方程,得

　　　　　　　　(x＋yi)(x－yi)－3i(x－yi)=1＋3i,

　　整理得

　　　　　　　　x2＋y2－3y－3xi=1＋3i.

　　根据复数相等的定义,得

　　　　　　　　

　　由①得　　　x＝-1.

　　将x=-1代入②式解得y＝0，y＝3.

　　∴z1=-1，z2=-1+3i.

(25)本小题主要考查三角函数和角公式等基础知识及运算能力.

　　解:由题设知α-β为第一象限的角，

　　　　　　　

　　由题设知α+β为第三象限的角，

　　　　　　　

　　　　∴ sin2α＝sin[(α-β)+(α+β)]

　　　　　　　　 ＝sin(α-β)cos(α+β)+cos(α-β)sin(α+β)

　　　　　　　　 ＝[(5/13)×(－4/5)]＋[(12/13)×(－3/5)]

　　　　　　　　 ＝－56/65

(26)本小题考查空间图形的线面关系,空间想象能力和逻辑思维能力.

　　解法一:设经过b与a平行的平面为α,经过a和AA1的平面为β,α∩β=c,则c∥a.因而b,c所成的角等于

　　θ,且AA1⊥c(如图)。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　∵ AA1⊥b, ∴ AA1⊥α.

　　根据两个平面垂直的判定定理,β⊥α.

　　在平面β内作EG⊥c,垂足为G,则EG=AA1.并且根据两个平面垂直的性质定理,EG⊥α.连结FG,则EG⊥FG.

　　在Rt△EFG中,EF2=EG2+FG2。

　　　　　　　　∵ AG=m,

　　∴在△AFG中,

　　FG2=m2+n2-2mncosθ.

　　　　　　　　∵ EG2=d2,

　　　　　　　　∴ EF2=d2+m2+n2-2mncosθ.

　　如果点F(或E)在点A(或A1)的另一侧,则

　　　　　　　　EF2=d2+m2+n2+2mncosθ.

　　因此　　　　

　　解法二:经过点A作直线c∥a,则c、b所成的角等于θ,且AA1⊥c.

　　根据直线和平面垂直的判定定理,AA1垂直于b、c所确定的平面a.

　　在两平行直线a、c所确定的平面内,作EG⊥c,垂足为G,则EG平行且等于AA1，从而EG⊥α。

　　连结FG,则根据直线和平面垂直的定义,EG⊥FG.

　　在Rt△EFG中,EF2=EG2+FG2。

　　(以下同解法一)

(27)本小题考查数列、不等式及综合运用有关知识解决问题的能力。

　　(Ⅰ)解：依题意，有：

　　　　　　　　　　S12＝12a1＋[12×(12－1)/2]×d＞0

　　　　　　　　　　S13＝13a1＋[13×(13－1)/2]×d＜0

　　　　　即：　　　　　


　　由a3=12,得

　　a1=12-2d. ③

　　将③式分别代①、②入，得：

　　　　　　　　　　

　　所以：(－24/7)＜d＜(－3)

　　(Ⅱ)解法一:由d<0可知

　　a1>a2>a3>…>a12>a13

　　因此，若1≤n≤12在中存在自然数n,使得an>0，an+1<0，

　　则Sn就是S1,S2,…,S12中的最大值。

　　由于 　　S12＝6(a6+a7)>0，

　　　　　　 S13＝13a7<0，

　　即 a6+a7>0，

　　　　a7<0.

　　由此得 a6>-a7>0.

　　因为 a6>0,a7<0,

　　故在S1,S2,…,S12中S6的值最大.

　　(Ⅱ)解法二:

　　　　　　　　　　sn＝na1＋[n(n－1)d/2]

　　　　　　　　　　　＝n(12－2d)＋n(n－1)/2

　　　　　　　　　　　＝d[n－(5－24/d)/2]2/2－d[(5－24/d)/2]2/2

　　∵ d<0,

　　∴[n－(5－24/d)/2]2最小时，Sn最大，

　　当(－24/7)＜d＜(－3)时，6＜(5－24/d)/2＜6.5

　　∵正整数n＝6时，[n－(5－24/d)/2]2最小；

　　∴ S6最大.

　　(Ⅱ)解法三:

　　由d<0可知 a1>a2>a3>…>a12>a13.

　　因此,若在1≤n≤12中存在自然数n,使得an>0,an+1<0,

　　则Sn就是S1,S2,…,S12中的最大值。

　　
　　　　　　

　　故在S1,S2,…,S12中S6的值最大.

(28)本小题考查椭圆性质、直线方程等知识,以及综合分析能力.

　　证法一:设A、B的坐标分别为(x1,y1)和(x2,y2).因线段AB的垂直平分线与x轴相交,故AB不平行于y轴,即

　　x1≠x2.又交点为P(x0,0),故│PA│=│PB│,即

　　∵ A、B在椭圆上,
　　∴
　　　　　　　　

　　将上式代入①,得

　　　　　　　　

　　∵ x1≠x2,可得

　　　　　　　　x0＝(x1＋x2)×(a2－b2)/a2

　　∵ -a≤x1≤a,-a≤x2≤a,且x1≠x2,

　　∴ -2a<x1+x2<2a,

　　∴－(a2－b2)/a＜x0＜(a2－b2)/a

　　证法二:设A、B的坐标分别为(x1,y1)和(x2,y2).因P(x0,0)在AB的垂直平分线上,以点P为圆心,│PA│=r

　　为半径的圆P过A、B两点,圆P的方程为：

　　　　　　　　　　　　　　　(x-x0)2+y0=r2，

　　与椭圆方程联立,消去y得：

　　

　　因A、B是椭圆与圆P的交点,故x1,x2为方程①的两个根。由韦达定理得：

　　　　　　　　x1+x2＝2a2x0/(a2－b2)

　　因-a≤x1≤a,-a≤x2≤a,且x1≠x2,故：