1993年试题(理工农医类)答案
一、选择题:本题考查基本知识和基本运算。
(1)C (2)B (3)C (4)D (5)C (6)B (7)B (8)A (9)A
(10)D (11)A (12)C (13)D (14)A (15)B (16)B (17)B (18)B
二、填空题:本题考查基本知识和基本运算。
(19)2 (20)17.3 (21)4186
三、解答题。
(25)本小题考查对数函数的概念及性质,不等式的解法。
解:原不等式等价于:
, 解得:
所以原不等式的解集为:{x|0<x<1}∪{x|4<x<5}。
(26)本小题主要考查空间图形的线面关系、三棱柱的性质、空间想象能力和逻辑推理能力。
解:(Ⅰ)l∥A1C1。证明如下:
根据棱柱的定义知平面A1B1C1和平面ABC平行。
由题设知直线A1C1=平面A1B1C1∩平面A1BC1,直线l=平面A1BC1∩平面ABC。
根据两平面平行的性质定理有l∥A1C1。
(Ⅱ)解法一:
过点A1作A1E⊥l于E,则A1E的长为点A1到l的距离。
连结AE。由直棱柱的定义知A1A⊥平面ABC。
∴直线AE是直线A1E在平面ABC上的射影。
又l在平面ABC上,根据三垂线定理的逆定理有:AE⊥l。
由棱柱的定义知A1C1∥AC,又l∥A1C1,
∵l∥AC。
作BD⊥AC于D,则BD是Rt△ABC斜边AC上的高,且BD=AE,
从而AE=BD=(AB×BC)/AC=(4×3)/5=12/5,
在Rt△A1AE中,
∵A1A=1,∠A1AE=90°,
∴A1E==(12/5)2+12=13/5,
故A1到直线的距离为13/5。
解法二:
同解法一得l∥AC。
由平行直线的性质定理知∠CAB=∠ABE,从而有Rt△ABC∽Rt△BEA,AE:BC=AB:AC,
∴AE=(AB×BC)/AC,
以下同解法一。
(27)本小题主要考查坐标系、椭圆的概念和性质、直线方程以及综合应用的能力。
解法一:建立直角坐标系如图:以MN所在直线为x轴,线段MN的垂直平分线为y轴。
设所求椭圆方程为x2/a2+y2/b2=1,分别计M、N、P点的坐标为(-c,0)、(c,0)和(x0,y0)。
∵tgα=tg(π-∠N)=2,
∴由题设知
解得 即P((5/3)c,(4/3)c)
解法二:
同解法一得c=/2,即P(5/6,2/3),
∵点P在椭圆上,且a2=b2+c2,
∴
解得b2=3,或b2=-1/3(舍去)。
a2=b2+c2=15/4
故所求椭圆方程为4x2/15+y2/3=1。
(28)本小题考查复数的基本概念和运算,三角函数式的恒等变形及综合解题能力。
解:
|ω|=|tg2θ|·|sin4θ+icos4θ|=|tg2θ|=/3。
因0<θ<π,故有
(Ⅰ)tg2θ=/3时,得θ=π/12或θ=7π/12,这时都有
ω=/3(cosπ/6+isinπ/6),
得argω=π/6<π/2,适合题意。
(Ⅱ)当tg2θ=-/3时,得θ=5π/12或θ=11π/12,这时都有
ω=/3(cos11π/6+isin11π/6),
得argω=11π/6>π/2,有合题意,舍去。
综合(Ⅰ)、(Ⅱ)可知θ=π/12或θ=7π/12。
(29)本小题考查一元二次方程根与系数的关系,绝对值不等式的性质和证明;逻辑推理能力和分析
问题、解决问题的能力。
证法一:
依题设,二次方程有两个实根α,β,所以判别式△=a2-4b≥0。
不妨取α=1/2(-a-),β==1/2(-a+)
(Ⅰ)∵ α<2,β<2。
∴b=|αβ|=|α|·|β|<4
且-2<1/2(-a-)<1/2(-a+)<2
0≤<4-a,0≤<4+a
平方得 a2-4b<16-8a+a2,a2-4b<16+8a+a2,
由此得 -4(4+b)<8a<4(4+b),
∴2│a│<4+b。
(Ⅱ)∵2│a│<4+b,│b│<4,
∴|a|=1/2(4+|b|)<4
4±a>0;
且 △=a2-4b<a2-4(2│a│-4)
=a2±8a+16=(4±a)2,
又 △≥0,
∴<4±a
得-4<-a-≤-a+<4,
∴ -2<α≤β<2,
得 │α│<2,│β│<2。
证法二:
(Ⅰ)根据韦达定理│b│=│αβ│<4。
因为二次函数f(x)=x2+ax+b开口向上,│α│<2,│β│<2。
故必有f(±2)>0,
即4+2a+b>0,2a>-(4+b);
4-2a+b>0,2a<4+b。
∴2│a│<4+b。
(Ⅱ)由2│a│<4+b得4+2a+b>0即22+2a+b>0,f(2)>0。 ①
及4-2a+b>0即(-2)2+(-2)a+b>0,f(-2)>0。 ②
由此可知f(x)=0的每个实根或者在区间(-2,2)之内或者在(-2,2)之外。若两根α,β均
落在(-2,2)之外,则与│b│=│αβ│<4矛盾。
若α(或β)落在(-2,2)外,则由于│b│=│αβ│<4,另一个根β(或α)必须落在(-2,
2)内,则与①、②式矛盾。
综上所述α,β均落在(-2,2)内。
∴│α│<2,│β│<2。