1993年试题(文史类)答案

一、选择题:本题考查基本知识和基本运算.

　　(1)C　　　　(2)B　　　　(3)C　　　　(4)D　　　　(5)D　　　　(6)B

　　(7)B　　　　(8)A　　　　(9)A　　　　(10)D　　　(11)A　　　　(12)C

　　(13)D　　　(14)A　　　　(15)B　　　  (16)B　　　(17)B　　　　(18)D

二、填空题:本题考查基本知识和基本运算.

　　(19)2　　　(20)17.3　　　(21)4186

　　(22)1760　　(23)1　　　　(24)-1

三、解答题.

(25)本小题考查对数方程的解法及运算能力.

　　解:原方程可化为：

　　　　　　　

　　解得：　x₁＝3－；x₂＝3＋

　　检验x₁＝3－时，x－3＝－＜0；负数的对数没有意义，

　　所以x＝3－不是原方程的根，

　　x＝3＋时，原方程的左边＝lg10－lg＝lg10＝1＝右边

　　所以原方程的根是：x＝3＋

(26)本小题考查观察、分析、归纳的能力和数学归纳法.

　　解S_n＝[(2n＋1)²－1]/(2n＋1)²　(n∈N)

　　证明如下:

　　(Ⅰ)当n＝1时，S_１＝[3²－1]/3²＝8/9，等式成立。

　　(Ⅱ)设当n=k时等式成立,即

　　
　　　　　

　　由此可知,当n=k+1时等式也成立.

　　根据(Ⅰ)、(Ⅱ)可知,等式对任何n∈N都成立.

(27)本小题主要考查空间图形的线面关系、三棱柱的性质、空间想象能力和逻辑推理能力.

　　解:(Ⅰ)l∥A₁C₁.证明如下:

　　　　　　　　　　　　　　　

　　根据棱柱的定义知平面A₁B₁C₁和平面ABC平行.

　　由题设知直线A₁C₁=平面A₁B₁C₁∩平面A₁BC₁,直线l=平面A₁BC₁∩平面ABC.

　　根据两平面平行的性质定理有l∥A₁C₁.

　　(Ⅱ)解法一:

　　过点A₁作A₁E⊥L于E,则A1E的长为点A₁到l的距离.

　　连结AE.由直棱柱的定义知A₁A⊥平面ABC.

　　∴ 直线AE是直线A₁E在平面ABC上的射影.

　　又　　l在平面ABC上,根据三垂线定理的逆定理有：

　　　　　　　　　　　　　AE⊥l.

　　由棱柱的定义知A₁C₁∥AC,又l∥A1C1,

　　　　　　　　　　　　　∴ l∥AC.

　　作BD⊥AC于D,则BD是Rt△ABC斜边AC上的高,且BD=AE,

　　从而AE＝BD＝(AE×BC)/AC＝(4×3)/5＝12/5

　　在Rt△A₁AE中,

　　∵ A₁A=1，∠A₁AE=90°,

　　∴
　　　　

　　故点A₁到直线 l 的距离为13/5。

　　解法二:

　　同解法一得l∥AC.

　　由平行直线的性质定理知∠CAB=∠ABE，

　　从而有Rt△ABC∽Rt△BEA，AE:BC=AB:AC，

　　　　　　　　　　∴AE＝(BC×AB)/AC

　　以下同解法一。

　　(28)本小题主要考查坐标系、椭圆的概念和性质、直线方程以及综合应用的能力.

　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　解法一:建立直角坐标系如图:以MN所在直线为x轴,MN的垂直平分线为y轴。

　　设椭圆方程为：x²/a²＋y²/b²＝1

　　分别记M、N、P点的坐标为(-c,0)、(c,0)和(x₀,y₀).

　　∵ tgα=tg(π-∠N)=2,

　　∴ 由题设知

　　　　

　　

　　在△MNP中，MN＝2c，MN上的高为4c/3

　　∴ 

　　
　　∴a＝(│PM│+│PN│)/2＝

　　从而 b²=a²-c²=3.

　　解法二:

　　同解法一得：

　　∵ 点P在椭圆上,且a²=b²+c².

　　

　　解得b²＝3　或　b²＝-1/3(舍去)

　　a²=b²＋c²=15/4.

　　故所求椭圆的方程为：4x²/15＋y²/3＝１

(29)本小题考查复数的基本概念和运算,三角函数式的恒等变形及综合解题能力.

　　解
　　　　

　　

　　因 0<θ<π,故有

　　当tg2θ＝－时，得θ＝5π/12或θ＝11π/12，这时都有：

　　ω＝[(cos11π/6)＋(isin11π/6)]，

　　得：argω＝(11π/6)＞π/2不适合题意，舍去，

　　综合(Ⅰ)、(Ⅱ)可知：θ＝π/12或θ＝7π/12