参考答案：

　一、选择题(本题考查基本知识和基本运算)

　　1.C　　2.D　　3.B　　4.A　　5.B

　　6.D　　7.B　　8.A　　9.A　　10.C

　　11.C　　12.B　　13.D　　14.D　　15.C

　二、填空题(本题考查基本知识和基本运算. 每空格4分,共24分)

　　16.-189　　　17.x=3,(x-2)²+y²=1　　　18.-3/4

　　19.2π/3　　　20.(a₁+a₂+…+a_n)/n

　三、解答题

　　21.本小题考查利用有关三角公式并借助辅助角求三角函数最小值的方法及运算能力,满分11分.

　　解:因为
　　　　

　　所以
　　　　

　　当sin(2x+π/4)=-1时,y取最小值-.


　22.本小题考查对数函数性质、平均值不等式等知识及推理论证的能力.满分12分.

　　解:　f(x₁)+f(x₂)=log_ax₁+log_ax₂=log_a(x₁x₂),　∵x₁,x₂∈R⁺,

　　　　

　　　　

　　　　(当且仅当x₁=x₂时取“=”号).

　23.本小题考查空间线面关系,正棱柱的性质,空间想象能力和逻辑推理能力.满分12分.

　　(1)证明:　∵A₁B₁C₁-ABC是正三棱柱,

　　　∴四边形B₁BCC₁是矩形.连结B₁C,交BC₁于E,则B₁E=EC.连结DE.

　　　在△AB₁C中,∵AD=DC,　∴DE∥AB₁,

　　　

　　　∴AB1∥平面DBC1.

　　　　　　　　　　　　　　


　　(2)解:作AF⊥BC,垂足为F.因为面ABC⊥面B₁BCC₁,所以AF⊥平面B₁BCC₁.连结B₁F,则B₁F是AB₁在平面

　　　　B₁BCC₁内的射影.

　　　∵BC₁⊥AB₁,　∴BC₁⊥B₁F.

　　　∵四边形B₁BCC₁是矩形,　∴∠B₁BF=∠BCC₁=90°；

　　　又∠FB₁B=∠C₁BC,　∴△B₁BF∽△BCC₁.

　　　∴B₁B/BC=BF/C₁C=BF/B₁B

　　　又F为正三角形ABC的BC边中点,因而B₁B²=BF·BC=1×2=2,

　　　于是B₁F²=B₁B²+BF²=3,　∴B₁F=.

　24.本小题考查曲线与方程的关系,轨迹的概念等解析几何的基本思想以及综合运用知识的能力.满分12分.

　　解:如图,设MN切圆于N,则动点M组成的集合是

　　　P=｛M‖MN│=λ│MQ│｝,式中常数λ＞0.

　　　因为圆的半径│ON│=1,所以│MN│²=│MO│²-│ON│²=│MO│²-1.

　　　设点M的坐标为(x,y),则


　　　整理得　(λ²-1)(x²+y²-4λ²x+(1+4λ²)=0.

　　　经检验,坐标适合这个方程的点都属于集合P.故这个方程为所求的轨迹方程.

　　　当λ=1时,方程化为x=5/4,它表示一条直线,该直线与x轴垂直且交x轴于点(5/4,0),

　　　当λ≠1时,方程化为 它表示圆,该圆圆心的

　　　

　25.本小题考查等差数列的基础知识,数学归纳法及推理论证能力.满分14分.

　　证法一:令d=a₂-a₁.

　　下面用数学归纳法证明 a_n=a₁+(n-1)d (n∈N).

　　(1)当n=1时上述等式为恒等式a₁=a₁.

　　　当n=2时,a₁+(2-1)d=a₁+(a₂-a₁)=a₂,等式成立.

　　(2)假设当n=k(k≥2)时命题成立,a_k=a₁+(k-1)d.由题设,有

　　　S_k=k(a₁+a_k)/2, S_k+1=(k+1)(a₁+a_k+1)/2, 又S_k+1=S_k+a_k+1

　　　∴(k+1)(a₁+a_k+1)/2＝k(a₁+a_k)/2+a_k+1

　　　把a_k=a₁+(k-1)d代入上式,得

　　　(k+1)(a₁+a_k+1)=2ka₁+k(k-1)d+2a_k+1.

　　　整理得(k-1)a_k+1=(k-1)a₁+k(k-1)d.

　　　∵k≥2,　∴a_k+1=a₁+kd.即当n=k+1时等式成立.

　　　由(1)和(2),等式对所有的自然数n成立,从而｛a_n｝是等差数列.

　　证法二:当n≥2时,由题设,

　　
　　整理得　a_n+1-a_n=a_n-a_n-1=…=a₂-a₁

　　从而｛a_n｝是等差数列.