1995年普通高等学校招生全国统一考试

数学试题(文史类)参考答案

一、选择题(本题考查基本知识和基本运算)

1．B　　 2．D　　 3．C　　 4．B　　 5．D　　 6．C　　 7．A　　 8．C　　 9．A

10．A　　11．B　　12．D　　13．D　　14．C　　15．A

二、填空题(本题考查基本知识和基本运算)

16．3　　17．7/32　　　　18．　　　　　　19．4　　　　　　20．144

三、解答题

21．本小题主要考查指数方程的解法及运算能力，

　　解：设y=3x，则原方程可化为9y2-80y-9=0，

　　　　解得：y₁=9，y₂=-1/9

　　　　方程3^x=-1/9无解，

　　　　由3^x=9得x=2，所以原方程的解为x=2。

22．本小题主要考查复数的有关概念，三角公式及运算能力，

　　解：

　　　　∵θ∈(π，2x)

　　　　∴θ/2∈(π/2，π)

　　　　∴-2cos(θ/2)＞0

　　　　所以复数x²+z的模为-2cos(θ/2)，辐角(2k-1)π+3θ/2(k∈z)。

23．本小题主要考查等比数列、对数、不等式等基础知识以及逻辑推理能力，

　　证法一：设｛a_n｝的公比为q，由题设知a₁＞0，q＞0，

　　　　(1)当q=1时，S_n=na1，从而

　　　　Sn·S_n+2-S_2n+1=na₁(n+2)a₁-(n+1)²a²₁=-a²₁＜0。

　　　　由(1)和(2)得S_n·S_n+2＜S²_n+1。

　　　　根据对数函数的单调性，得log_0.5(S_n·S_n+2)＞log_0.5S_2n+1，

　　　　即。

　　证法二：设｛an｝的公比为q，由题设知a1＞0，q＞0，

　　　　∵S_n+1=a₁+qS_n，

　　　　　S_n+2=a₁+qS_n+1，

　　　　∴S_n·S_n+2-S_2n+1

　　　　　=S_n(a₁+qS_n+1)-(a₁+qS_n)S_n+1

　　　　　=a₁(S_n-S_n+1)

　　　　　=-a₁a_n+1＜0

　　　　即　S_n·S_n+2＜S²_n+1。

　　　　(以下同证法一)

24．本小题主要考查空间线面关系、圆柱性质、空间想象能力和逻辑推理能力。

　　(1)证明：根据圆柱性质，DA⊥平面ABE，

　　　　∵EB平面ABE，

　　　　∴DA⊥EB，

　　　　∵AB是圆柱底面的直径，点E在圆周上，

　　　　∴AE⊥EB，又AE∩AD=A，故得EB⊥平面DAE，

　　　　∵AF平面DAE，∴EB⊥AF，

　　　　又AF⊥DE，且EB∩DE=E，故得AF⊥平面DEB，

　　　　∵DB平面DEB，∴AF⊥DB。

　　(2)解：设点E到平面ABCD的距离为d，记AD=h，因圆柱轴截面ABCD是矩形，所以AD⊥AB。

　　　　由题设知　，即d=a/2。

25．本小题主要考查运用所学数学知识和方法解决实际问题的能力，以及函数的概念、方程和不等

式的解法等基础知识和方法，

　　解：(1)依题设有

　　　　化简得5x²+(8t-80)x+(4t²-64t+280)=0，

　　　　当判别式△=800-16t2≥0时，可得：

　　　　由△≥0，t≥0，8≤x≤14，得不等式组：

　　　　解不等式组①，得0≤t≤，不等式组②无解，故所求的函数关系式为

　　　　函数的定义域为[0，]。

　　　　(2)为使x≤10，应有，

　　　　化简得：t2+4t-5≥0，

　　　　解得t≥1或t≤-5，由于t≥0知t≥1，从而政府补贴至少为每千克1元。

26．本小题主要考查直线、椭圆的方程和性质，曲线与方程的关系，轨迹的概念和求法等解析几何

的基本思想和综合运用知识的能力。

　　解：设点P，Q，R的坐标分别为(12，yp)，(x，y)，(xR，yR)，由题设知

　　　　xR＞0，x＞0，

　　　　由点R在椭圆上及点O，Q，R共线，得方程组

　　　　　　解得　

　　　　由点O、Q、P共线，得y_p/12=y/x，即y_p=12y/x。　③

　　　　由题设|OQ|·|OP|=|OR|²得

　　　　将①、②、③式代入上式，整理得点Q的轨迹方程

　　　　(x-1)2+y2/(2/3)=1　　　　(x＞0)

　　　　所以点Q的轨迹是以(1，0)为中心，长、短半轴长分别为1和/2，且长轴在x轴上的椭圆、

　　　　去掉坐标圆点。