国讯网校-数学试题

　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　1996年普通高等学校招生全国统一考试

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　数学（理工农医类）
　　　　
　　　　本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至2页.第Ⅱ卷3至8页.

　　共150分.考试时间120分钟.

　　　　　　　　　　　　　　　　　　第Ⅰ卷(选择题共65分)

　　注意事项:

　　　　1.答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.

　　　　2.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再

　　　　　选涂其它答案,不能答在试题卷上.

　　　　3.考试结束,监考人将本试卷和答题卡一并收回.

　一、选择题:本大题共15小题;第1—10题每小题4分,第11—15题每小题5分,共65分.在每小题给出的四个

　　　选项中,只有一项是符合题目要求的.

　　(1)已知全集I=N,集合A={x│x=2n,n∈N},B={x│x=4n,n∈N},则

　　　(A)I＝A∪B (B)I＝

∪B　　　(C)I＝A∪

　 (D)I＝

∪

　　(2)当a>1时,在同一坐标系中,函数y=a-x与y=log_ax的图象是

　　　

　　(3)若sin²x＞cos²x,则x的取值范围是

　　　(A){x|2kπ－3/4π＜x＜2kπ＋1/4π，k∈Z}
　　　　　
　　　(B){x|2kπ＋1/4π＜x＜2kπ＋5/4π，k∈Z}

　　　(C){x|kπ－1/4π＜x＜kπ＋1/4π，k∈Z}

　　　(D){x|kπ＋1/4π＜x＜kπ＋3/4π，k∈Z}

　　(4）复数(2＋2i)⁴/(1－

i)⁵
　　　
　　　(A)1＋

i 　　　(B)－1＋

i 　　　 (C)1－

i 　(D)－1－

i

　　(5)如果直线l、m与平面α、β、γ满足：l＝β∩γ，l∥α，m

α和m⊥γ

　　　(A)α⊥γ且l⊥m 　(B)α⊥γ且m∥β　　　(C)m∥β且l⊥m 　　(D)α∥β且α⊥γ

　　(6)当－π/2≤x≤π/2，函数f(x)＝sinx＋

cosx的

　　　(A)最大值是1，最小值是－1　　　　　　(B)最大值是1，最小值是1/2

　　　(C)最大值是2，最小值是－2　　　　　　(C)最大值是2，最小值是－1

　　(7)椭圆的两个焦点坐标是

　　　(A)(－3,5)，(－3,－3)　　　　　　　　(B)(3,3)，(3,－5)
　
　　　(C)(1,1)，(－7,1)　　　　　　　　　　(D)(7,－1)，(－1,－1)

　　(8)若0＜a＜π/2，则arcsin[cos(π/2＋a)]＋arccos[sin(π＋a)]等于

　　　(A)π/2　　　　(B)－π/2　　　　(C)π/2－2a　　　　(D)－π/2－2a

　　(9)将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起,使得BD＝a,则三棱锥D-ABC的体积为

　　　(A)a³/6　　　　(B)a³/12　　　　　(C)(

/12)a³　　　　(D)(

/12)a³

　　(10)等比数列{a_n}的首项a₁＝－1，前n项和为S_n，若S₁₀/S₅＝31/32，则limS_n等于

　　　(A)2/3　　　　　(B)－2/3　　　　(C)2　　　　　　　(D)－2

　　(11)椭圆的极坐标方程为ρ＝3/(2－cosθ)，则它在短轴上的两个顶点的极坐标是

　　　(A)(3,0)，(1,π)　　　　　　　　(B)(

,π/2)，(

,3π/2)

　　　(C)(2,π/3)，(2,5π/3)　　　　　(D)(

,arctg(

/2))，(

,2π－arctg(

/2))

　　(12)等差数列{an}的前m项和为30,前2m项和为100,则它的前3m项和为

　　　(A)130 　　　　　(B)170 　　　　　 (C)210 　　　　　 (D)260

　　(13)设双曲线x²/a²－y²/b²＝1(0＜a＜b)的半焦距为c，直线l过(a,0)，(0,b)两点，已知原点到直线

　　　　l的距离为

/4c，则双曲线的离心率为

　　　(A)2 　　　　　　 (B)

　　　　　　 (C)

　　　　　 (D)2

/3

　　(14)母线长为1的圆锥体积最大时,其侧面展开图圆心角ψ等于

　　　(A)2

/3 π　　　(B)2

/3　π　　　　(C)

π 　　　　(D)2

/3π

　　(15)设f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,f(x+2)=f(x),当0≤x≤1时,f(x)=x,则f(7.5)等于

　　　(A)0.5 　　　　　 (B)-0.5　　　　　　(C)1.5 　　　　(D)-1.5

　　　　　　　　　　　　　　　　　　第Ⅱ卷(非选择题共85分)
　　
　注意事项：

　　　1.第Ⅱ卷共6页,用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中.

　　　2.答卷前将密封线内的项目填写清楚.

　二.填空题:本大题共4小题;每小题4分,共16分.把答案填在题中横线上.

　　(16)已知圆x²+y²-6x-7=0与抛物线y²=2px(p>0)的准线相切.则P=_______.

　　(17)正六边形的中心和顶点共7个点,以其中3个点为顶点的三角形共有_____个(用数字作答).

　　(18)tg20°＋tg40°＋tg20°tg40°的值是_______

　　(19)如图,正方形ABCD所在平面与正方形ABEF

　　　　所在平面成60°的二面角,则异面直线AD

　　　　与BF所成角的余弦值是______.

　三.解答题:本大题共6小题;共69分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

得分	评卷人

(20)本小题满分11分

　　　解不等式log_a(1－1/x)＞0

得分	评卷人

(21)本小题满分12分

　　　已知△ABC的三个内角A、B、C满足：A＋C＝2B，1/cosA＋1/cosA＝－/cosB，求cos(A－B)/2

　　　的值。

得分	评卷人

(22)本小题满分12分

　　　如图,在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中,E∈BB₁，截面A₁EC⊥侧面AC₁.

　　　(Ⅰ)求证:BE=EB1;
　　
　　　(Ⅱ)若AA₁=A₁B₁;求平面A₁EC与平面A₁B₁C₁所成二面角(锐角)的度数.

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　注意:在下面横线上填写适当内容,使之成为(Ⅰ)的完整证明,并解答(Ⅱ).

　　　(Ⅰ)证明:在截面A₁EC内,过E作EG⊥A₁C,G是垂足.
　
　　　　　① ∵__________________________________

　　　　　　　∴EG⊥侧面AC₁;取AC的中点F,连结BF,FG,由AB=BC得BF⊥AC,

　　　　　② ∵___________________________________

　　　　　　∴BF⊥侧面AC₁;得BF∥EG,BF、EG确定一个平面,交侧面AC₁于FG.

　　　　　③ ∵ __________________________________

　　　　　　∴BE∥FG,四边形BEGF是平行四边形,BE=FG,

　　　　　④ ∵_________________________________

　　　　　　∴FG∥AA₁,△AA₁C∽△FGC,

　　　　　⑤ ∵_________________________

　　(Ⅱ)解:

得分	评卷人

(23)本小题满分10分

　　某地现有耕地10000公顷,规划10年后粮食单产比现在增加22%,人均粮食占有量比现在提高10%.如果

　人口年增长率为1%,那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷（精确到1公顷)?

　　　　　　　(粮食单产＝总产量/耕地面积，人均粮食占有量＝总产量/总人口数)

得分	评卷人

(24)本小题满分12分

　　已知l₁、l₂是过点P(－1,,0)的两条互相垂直的直线，且l₁、l₂与双曲线y²－x²＝1各有两个交点，

　　分别为A₁、B₁和A₂、B₂

　　(Ⅰ)求l₁的斜率k₁的取值范围Ⅲ

　　(Ⅱ)若|A₁B₁|＝|A₂B₂|，求l₁、l₂的方程

得分	评卷人

(25)本小题满分12分

　　已知a、b、c是实数,函数f(x)=ax²+bx+c,g(x)=ax+b,当-1≤x≤1时,│f(x)│≤1.

　　(Ⅰ)证明:│c│≤l;
　
　　(Ⅱ)证明:当-1≤x≤1时,│g(x)│≤2;

　　(Ⅲ)设a>0,当-1≤x≤1时,g(x)的最大值为2,求f(x).