1996年普通高等学校招生全国统一考试

　　　　　　　　　　　　　数学试题(理工农医类)参考解答及评分标准

　说明:

　　一. 本解答指出了每题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法

　　　　与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.

　　二. 对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度,

　　　　可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后继部

　　　　分的解答有较严重的错误,就不再给分.

　　三. 解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数.

　　四. 只给整数分数.选择题和填空题不给中间分.

　一.选择题:本题考查基本知识和基本运算.第(1)-(10)题每小题4分,第(11)-(15)题每小题5分.满分65分.
　
　　　　(1)C   　　　　 (2)A   　　　　 (3)D    　　　　(4)B   　　　　  (5)A
　　
　　　　(6)D   　　　　 (7)B   　　　　 (8)A   　　　　 (9)D   　　　　  (10)B
　
　　　　(11)C   　　　　(12)C    　　　(13)A   　　　　(14)D   　　　　 (15)B

　二.填空题:本题考查基本知识和基本运算.每小题4分,满分16分.


　　　　(16)2　　　　　(17)32　　　　(18)　　　　(19)/4

　　　(20)本小题考查对数函数性质,对数不等式的解法,分类讨论的方法和运算能力.满分11分.

　　　　　解：(Ⅰ)当a＞1时,原不等式等价于不等式组:

	1－1/x＞0	2分
	1－1/x＞a

　　　　　　　　　由此得1－a＞1/x

　　　　　　　　　因为1-a<0,所以x<0,

　　　　　　　　　∴1/(1－a)＜x＜0　　　　　　　　　　　　　　　　5分

　　　　　　　(Ⅱ)当0<a<1时,原不等式等价于不等式组:

	1－1/x＞0　　　①	7分
	1－1/x＜a　　　②

　　　　　　　　　由①得,x＞1或x＜0,

　　　　　　　　　由②得,0＜x＜1/(1－a)，

　　　　　　　　　∴1＜x＜1/(1－a)。　　　　　　　　　　　　　　　10分

　　　　　　　　　综上，当a＞1时，不等式的解集为{x|1/(1－a)＜x＜0}，

　　　　　　　　　　　　　0＜a＜1时，不等式的解集为{x|1＜x＜1/(1－a)}.　　　11分

　　　(21)本小题考查三角函数基础知识,利用三角公式进行恒等变形和运算的能力.满分12分.

　　　　　解法一：由题设条件知B=60°,A+C=120°.    2分

　　　　　　　　　∵－/cos60°＝－2

　　　　　　　　　∴1/cosA＋1/cosC＝－2

　　　　　　　　　将上式化简为cosA＋cosC＝－2cosAcosC

　　　　　　　　　利用和差化积及积化和差公式,上式可化为

　　　　　　　　　2cos(A＋C)/2cos(A－C)/2=－[cos(A＋C)＋cos(A－C)]

　　　　　　　　　将cos(A＋C)/2＝cos60°＝1/2，cos(A＋C)＝－1/2代入上式得

　　　　　　　　　cos[(A－C)/2]＝/2－cos(A－C)

　　　　　　　　　将cos(A－C)＝2[cos²(A－C)/2]－1代入上式并整理得

　　　　　　　　　4cos²(A－C)/2＋2cos(A－C)/2－3＝0

　　　　　　　　　2cos[(A－C)/2－][2cos(A－C)/2＋3]＝0

　　　　　　　　　2cos(A－C)/2＋3≠0

　　　　　　　　　2cos(A－C)/2－＝0

　　　　　　　　　从而得cos(A－C)/2＝/2　　　　　　　　12分

　　　　　解法二：由题设条件知B=60°,A+C=120°.

　　　　　　　　　设α＝(A－C)/2，则A－C＝2α，可得A＝60°＋α，C＝60°－α　　　3分

　　　　　　　　　所以1/cosA＋1/cosC＝1/cos(60°＋α)＋1/cos(60°－α)

　　　　　　　　　　　　＝1/(1/2cosα－/2sinα)+1/(1/2cosα＋/2sinα)

　　　　　　　　　　　　＝cosα/(cos2α－3/4)　　　　　　　　7分　

　　　　　　　　　依题设条件有cosα/(cos2α－3/4)＝－/cosB

　　　　　　　　　∵　cosB＝1/2　

　　　　　　　　　∵　cosα/(cos2α－3/4)＝－2

　　　　　　　　　整理得4cos2α＋2cosα－3＝0

　　　　　　　　　(2cosα－)(2cosα＋3)＝0

　　　　　　　　　2cosα＋3≠0

　　　　　　　　　2cosα－＝0

　　　　　　　　　从而得　cos(A－C)/2＝/2　　　　　　　12分

　　　(22)本小题考查空间线面关系,正三棱柱的性质,逻辑思维能力,空间想象能力及运算能力.满分12分.

(Ⅰ)	①∵面A1EC⊥侧面AC1,    2分
	②∵面ABC⊥侧面AC1,    3分
	③∵BE∥侧面AC1,    4分
	④∵BE∥AA1,    5分
	⑤∵AF=FC,    6分

　　　(Ⅱ)解：分别延长CE、C₁B₁交于点D,连结A₁D.

　　　　　　

　　　　　　　∵CC₁⊥面A₁C₁B₁,即A₁C₁是A₁C在平面A₁C₁D上的射影,根据三垂线定理得DA₁⊥A₁C,

　　　　　　　所以∠CA₁C₁所求二面角的平面角.    11分

　　　　　　　∵CC₁=AA₁=A₁B₁=A₁C₁,∠A1C1C=90°,

　　　　　　　∴∠CA₁C₁=45°,即所求二面角为45°.    12分

　　(23)本小题主要考查运用数学知识和方法解决实际问题的能力,指数函数和二项式定理的应用,近

　　　　似计算的方法和能力.满分10分.

　　　　解：设耕地平均每年至多只能减少X公顷,又设该地区现有人口为P人,粮食单产为M吨/公顷.

　　　　　　依题意得不等式

　　　　　　　　　

　　　　答：按规划该地区耕地平均每年至多只能减少4公顷.    10分

　　(24)本小题主要考查直线与双曲线的性质,解析几何的基本思想,以及综合运用知识的能力.满分12分.

　　　　有两个不同的解.在方程组①中消去y,整理得

　　　　有两个不同的解.在方程组③中消去y,整理得

　　　　又因为l₁⊥l₂,所以有k₁·k₂=-1.    4分

　　　　于是,l₁、l₂与双曲线各有两个交点，等价于

　　(Ⅱ)设A₁(x₁y₁),B1(x₂y₂)1.由方程②知

　　　　∴│A₁B₁│2=(x₁-x₂)²+(y₁-y₂)²

　　　　将⑤、⑥代入上式得

　　(25)本小题主要考查函数的性质、含有绝对值的不等式的性质，以及综合运用数学知识分析问题与

　　　　解决问题的能力。满分12分.

　　(Ⅰ)证明：由条件当-1≤x≤1时,│f(x)│≤1,取x=0得

　　　　　　　│c│=│f(0)│≤1,

　　　　　　　即│c│≤1.    2分

　　(Ⅱ)证法一：当a>0时,g(x)=ax+b在[-1,1]上是增函数,

　　　　　　　∴g(-1)≤g(x)≤g(1),

　　　　　　　∵│f(x)│≤1(-1≤x≤1),│c│≤1,

　　　　　　　∴g(1)=a+b=f(1)-c≤│f(1)│+│c│≤2,

　　　　　　　　g(-1)=-a+b=-f(-1)+c≥-(│f(-1)│+│c│≥－2,

　　　　　　　由此得│g(x)│≤2;    5分

　　　　　　　当a<0时,g(x)=ax+b在[-1,1]上是减函数,

　　　　　　　∴g(-1)≥g(x)≥g(1),

　　　　　　　∵│f(x)│≤1(-1≤x≤1),│c│≤1,

　　　　　　　∴g(-1)=-a+b=-f(-1)+c≤│f(-1)│+│c│≤2,

　　　　　　　　g(1)=a+b=f(1)-c≥-(│f(1)│+│c│)≥-2,

　　　　　　　由此得│g(x)│≤2;    7分

　　　　　　　当a=0时,g(x)=b,f(x)=bx+c.

　　　　　　　∵-1≤x≤1,

　　　　　　　∴│g(x)│=│f(1)-c│≤│f(1)│+│c│≤2.

　　　　　　　综上得│g(x)│≤2.    8分

　　　　　　　根据含绝对值的不等式的性质,得

　　　　　　　即    │g(x)│≤2.    8分

　　　　　(Ⅲ)因为a>0,g(x)在[-1,1]上是增函数,当x=1时取得最大值2,

　　　　　　　即g(1)=a+b=f(1)-f(0)=2.①

　　　　　　　∵-1≤f(0)=f(1)-2≤1-2=-1,

　　　　　　　∴c=f(0)=-1.    10分

　　　　　　　因为当-1≤x≤1时,f(x)≥-1,即f(x)≥f(0),

　　　　　　　根据二次函数的性质,直线x=0为f(x)的图象的对称轴,由此得

　　　　　　　由① 得a=2.

　　　　　　　所以 f(x)=2x²-1.    12分