1997年普通高等学校招生全国统一考试

数学试题(理工农医类)参考解答及评分标准


说明:
　　一.本解答指出了每题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法

与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.

　　二.对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度,

可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后继部分的解

答有较严重的错误,就不再给分.

　　三.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数.
　　
　　四.只给整数分数.选择题和填空题不给中间分.

一.选择题:本题考查基本知识和基本运算.

　第(1)-(10)题每小题4分,第(11)-(15)题每小题5分,满分65分.

    (1)B      (2)B     (3)A        (4)C       (5)B

    (6)D      (7)D     (8)C        (9)B       (10)B

   (11)A    (12)D    (13)C       (14)C     (15)D

二.填空题:本题考查基本知识和基本运算.每小题4分,满分16分.
  
注:第(19)题多填、漏填和错填均给0分.

三.解答题

(20)本小题主要考查复数的基本概念、复数的运算以及复数的几何意义等基础知识,考查运算能力和

       逻辑推理能力.满分10分.

       解法一：
　　　　　　　　 　　　　　　-------2分
      于是
　　　　      -------5分
    　　　　　 -------7分
   

    由此知△OPQ有两边相等且其夹角为直角,故△OPQ为等腰直角三解形.----7分

    解法二:
　
　
　

    由此得OP⊥OQ,│OP│=│OQ│.

    由此知△OPQ有两边相等且其夹角为直角,故△OPQ为等腰直角三角形.----10分

(21)本小题主要考查等比数列的概念、数列极限的运算等基础知识,考查逻辑推理能力和运算能力.

       满分11分.

       解:
           　　　　　　　    --------3分

         分两种情况讨论.

        (Ⅰ)p>1.

　　

　　

　　=p.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　-------7分

       (Ⅱ)p<1.

     　 ∵    0<q<p<1,
      　                              -------11分

(22)本小题主要考查建立函数关系、不等式性质、最大值、最小值等基础知识,考查综合应用所学

        数学知识、思想和方法解决实际问题的能力,满分12分.

      


            故所求函数及其定义域为

　　　      

      (Ⅱ)依题意知S,a,b,v都为正数,故有

　　　　
  

　       
　　          　　　
　　      因为c-v≥0,且a>bc2,故有

　　　a-bcv≥a-bc2>0,

　　

　  　也即当v=c时,全程运输成本y最小.

    
    

(23)本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系,考查逻辑推理能力和空间

       想象能力,满分12分.

       解:(Ⅰ)∵AC1是正方体,

         　　　∴AD⊥面DC1.

          　　　又D1F面DC1,

          　　　∴AD⊥D1F.    　　　　　　　　　　　　　　-------------2分
           　　　　　　
   
         (Ⅱ)取AB中点G,连结A1G,FG.因为F是CD的中点,所以GF、AD平行且相等,又A1D1、AD平行且相等,

         所以GF、A1D1平行且相等,故GFD1A1是平行四边形,A1G∥D1F.

         设A1G与AE相交于点H,则∠AHA1是AE与D1F所成的角,因为E是BB1的中点,所以Rt△A1AG≌Rt△ABE,

          ∠GA1A=∠GAH，从而

          ∠AHA1=90°,即直线AE与D1F所成角为直角.    　           -------------5分

         (Ⅲ)由(Ⅰ)知AD⊥D1F,由(Ⅱ)知AE⊥D1F,又AD∩AE=A,所以D1F⊥面AED.又因为D1F面A1FD1,所以

           面AED⊥面A1FD1.     　　　　　　　　　　　　         -------------7分

         (Ⅳ)连结GE,GD1.

          ∵FG∥A1D1,

          ∴FG∥面A1ED1,

          ∵AA1=2,

        
       

(24)本小题主要考查一元二次方程、二次函数和不等式的基础知识,考查综合运用数学知识分析问题

        和解决问题的能力.满分12分.

       证明:(Ⅰ)令F(x)=f(x)-x.因为x1,x2是方程f(x)-x=0的根,所以

　　             　F(x)=a(x-x1)(x-x2).                   ------------2分

　　            　当x∈(0,x1)时,由于x1<x2,得(x-x1)(x-x2)>0,又a>0,得

　　            　F(x)=a(x-x1)(x-x2)>0,

　　           　即x<f(x).   　　　　　 　　                    ------------4分
    
　　           　

　　          　所以x1-x>0,1+a(x-x2)=1+ax-ax2>1-ax2>0.

　　          　得    x1-f(x)>0.

　　         　由此得f(x)<x1.   　　　 　　                         ------------7分

          (Ⅱ)依题意知
　　
　　           

　　         因为x1,x2是方程f(x)-x=0的根,即x1,x2是方程ax2+(b-1)x+c=0的根.

  　　                                    ------------9分


                           　　.
          
　　         因为ax2<1,所以

　　                           .    　　　　　　　     ------------12分
   
(25)本小题主要考查轨迹的思想,求最小值的方法,考查综合运用知识建立曲线方程的能力.满分12分.

        解法一:设圆的圆心为P(a,b),半径为r,则点P到x轴,y轴的距离分别为│b│,│a│.
   
        

               r2=2b2                                                                              ------------2分

        又圆P截y轴所得的弦长为2,所以有

            r2=a2+1.

                从而得2b2-a2=1.                     ------------5分

        又点P(a,b)到直线x-2y=0的距离为

                                                                              ------------7分

         所以    5d2=│a-2b│2

                     =a2+4b2-4ab

                    ≥a2+4b2-2(a2+b2)

                     =2b2-a2=1,

       当且仅当a=b时上式等号成立,此时5d2=1,从而d取得最小值.　------10分

       由此有
　　        　

        解此方程组得
　　         　

         由于r2=2b2知于是,所求圆的方程是

　　       　(x-1)2+(y-1)2=2,或(x+1)2+(y+1)2=2.              -------------12分

         解法二:同解法一得   
   
　                   

                  ∴

                 得　        ①

                 将a2=2b2-1代入①式,整理得

                       　　②

                  把它看作b的二次方程,由于方程有实根,故判别式非负,即

                　△=8(5d2-1)≥0,

           　得    5d2≥1.
                 

            将其代入②式得2b2±4b+2=0.解得b=±1.

            将b=±1代入r2=2b2,得r2=2.由r2=a2+1得a=±1.

            综上    a=±1,b=±1,r2=2.

            由│a-2b│=1知a,b同号.

            于是,所求圆的方程是

            (x-1)2+(y-1)2=2,或(x+1)2+(y+1)2=2.             -------------12分