二.填空题:本题考查基本知识和基本运算.每小题4分,满分16分.
注:第(19)题多填、漏填和错填均给0分.
三.解答题
(20)本小题主要考查复数的基本概念、复数的运算等基础知识,考查利用三角公式进行变形的技能和运算能力.满分10分.
解法一：将已知复数化为复数三角形式:
------------2分
依题意有 zω+zω3
------------8分
解法二: zω+zω3
=zω(1+ω2)
------------4分
------------8分
(21)本小题主要考查等差数列、等比数列、方程组等基础知识,考查运算能力.满分11分.
解：设等差数列｛an｝的首项a1=a,公差为d,则通项为
an=a+(n-1)d,
前n项和为
, ------------2分
依题意有
其中S5≠0.
由此可得
------------4分
整理得
解方程组得
------------8分
由此得
an=1;
------------8分
(22)本小题主要考查建立函数关系、不等式性质、最大值、最小值等基础知识,考查综合应用所学数学知识、思想和方法解决实际问题的能力.满分12分.
本为
, ------------4分
故所求函数及其定义域为
. ------------5分
(Ⅱ)依题意知S,a,b,v都为正数,故有
.
因为c-v≥0,且a>bc2,故有
a-bcv≥a-bc2>0,
也即当v=c时,全程运输成本y最小.
(23)本小题主要考查直线与直线,直线与平面,平面与平面的位置关系,考查逻辑推理和空间想象能力.满分12分.
解：(Ⅰ)∵AC1是正方体,
∴AD⊥面DC1.
又D1F面DC1,
∴AD⊥D1F.
------------2分
(Ⅱ)取AB中点G,连结A1G,FG.
因为F是CD的中点,所以GF、AD平行且相等,又A1D1、AD平行且相等,所以GF、A1D1平行且相等,故GFD1A1是平行四边形,
A1G∥D1F.
设A1G与AE相交于点H,∠AHA1是AE与D1F所成的角.
因为E是BB1的中点,所以
Rt△A1AG≌Rt△ABE,∠GA1A=∠GAH,
从而∠AHA1=90°,
也即直线AE与D1F所成的角为直角. ------------5分
(Ⅲ)由(Ⅰ)知AD⊥D1F,由(Ⅱ)知AE⊥D1F,又AD∩AE=A,
所以D1F⊥面AED.
又因为D1F面A1FD1,所以面AED⊥面A1FD1. ------------7分
(Ⅳ)∵体积VE-AA1F=VF-AA1E,
又FG⊥面ABB1A1,三棱锥F-AA1E的高FG=AA1=2,
(24)本小题主要考查对数函数图象、对数换底公式、对数方程、指数方程等基础知识,考查运算能力和分析问题的能力,满分12分.
解：(Ⅰ)设点A、B的横坐标分别为x1,x2,由题设知,x1>1,x2>1.则点A、B纵坐标分别为log8x1,log8x2.
因为A、B在过点O的直线上,
------------2分
点C、D坐标分别为(x1,log2x1),(x2,log2x2).
, ------------4分
.
由此可知,k1=k2,
即O、C、D在同一条直线上. ------------7分
(Ⅱ)由于BC平行于x轴知
log2x1=log8x2,
. ------------9分
代入x2log8x1=x1log8x2得
.
由于x1>1知log8x1≠0,
. ------------12分
(25)本小题主要考查轨迹的思想,考查综合运用知识建立曲线方程的能力.满分12分.
解：设圆P的圆心为P(a,b),半径为r,则点P到x轴,y轴的距离分别为
│b│,│a│.由题设知圆P截x轴所得劣弧对的圆心角为90°,知圆P
r2=2b2 ------------3分
又圆P被y轴所截得的弦长为2,所以有
r2=a2+1.
从而得2b2-a2=1. ------------6分
, ------------8分
即有a-2b=±1,
由此有
解方程组得
于是r2=2b2=2,
所求圆的方程是
(x+1)2+(y+1)2=2,或(x-1)2+(y-1)2=2. ------------12分