参考答案:
一、选择题(本题考查基本知识和基本运算)
1.C 2.D 3.D 4.A 5.B
6.D 7.B 8.A 9.A 10.C
11.C 12.B 13.D 14.B 15.C
二、填空题(本题考查基本知识和基本运算. 每空格4分,共24分)
16.-189 17.x=3,(x-2)2+y2=1 18.-3/4
19.2π/3 20.(a1+a2+…+an)/n
三、解答题
21.本小题考查共轭复数、复数的三角形式等基础知识及运算能力。
解:(1)
=2i+3(1-i)-4=-1-i
ω的三角形式是 (cos5π/4+isin5π/4)
(2)由z=1+i,有
由题设条件知 (a+2)-(a+b)i=1-i
根据复数相等的定义,得 a+2=1 解得 a=-1
-(a+b)=-1 b=2
22.本小题考查三角函数基础知识、三角函数性质及推理能力.
证明:
∵x1,x2∈(0,π/2), x1≠x2 ∴2sin(x1+x2)>0,cosx1cosx2>0
且0<cos(x1-x2)<1, 从而有
0<cos(x1+x2)+cos(x1-x2)<1+cos(x1+x2)
由此得 tgx1+tgx2>2sin(x1+x2)/(1+cos(x1+x2))
∴(tgx1+tgx2)/2>tg((x1+x2)/2)
即 [f(x1)+f(x2)]/2>f((x1+x2)/2)
23.本小题考查空间线面关系,正棱柱的性质,空间想象能力和逻辑推理能力.
(1)证明: ∵A1B1C1-ABC是正三棱柱,
∴四边形B1BCC1是矩形.连结B1C,交BC1于E,则B1E=EC.连结DE.
在△AB1C中,∵AD=DC, ∴DE∥AB1,
∴AB1∥平面DBC1.
(2)解:作DF⊥BC,垂足为F,则DF⊥面B1BCC1,连结EF,则EF是ED在平面B1BCC1上的射影.
∵AB1⊥BC1, 由(1)知AB1∥DE, ∴DE⊥BC1,
则BC1⊥EF, ∴∠DEF是二面角α的平面角.
设AC=1,则DC=1/2. ∵△ABC是正三角形,
∴在Rt△DCF中, DF=DC·sinC=/4,CF=DC·cosC=1/4
取BC中点G. ∵EB=EC, ∴EG⊥BC.
在Rt△BEF中, EF2=BF·GF,又BF=BC-FC=3/4,GF=1/4
∴EF2=(3/4)·(1/4),即EF=/4.
∴tg∠DEF=DF/EF=1 ∴∠DEF=45°.
故二面角α为45°.
24.本小题考查直线与抛物线的基本概念和性质,解析几何的基本思想方法以及综合运用知识解决问题
的能力.
解:依题设抛物线C的方程可写为 y2=2px (p>0),
且x轴和y轴不是所求直线,又l过原点,因而可设l的方程为
y=kx (k≠0) ①
设A'、B'分别是A、B关于l的对称点,因而A'A⊥l,直线A'A的方程为
y=-(x+1)/k ②
由①②联立解得AA'与l的交点M的坐标为(-1/(k2+1),-k/(k2+1))
又M为AA'的中点,从而点A'的坐标为
③
同理得点B'的坐标为
④
又A'、B'均在抛物线y2=2px(p>0)上,由③得
但当 k=(1-)/2 时,由③知XA=
/5<0,这与A'在抛物线y2=2px(p>0)上矛盾,
故舍去k2=(1-)/5
设k=(1+)/2,则直线方程为y=(1+
)x/2
将k=(1+)/2代入⑤,求得 p=2
/5
所以直线方程为 y=(1+)x/2 抛物线方程为 y2=4
x/5
25.本小题考查等差数列、等比数列、数列极限等基础知识考查逻辑推理能力和分析问题与解决问题
的能力.
解:(1)由题意,当n=1时有 (a1+2)/2= S1=a1
∴(a1+2)/2= 解得:a1=2.
当n=2时有(a2+2)/2=,
S2=a1+a2将a1=2代入,整理得
(a2-2)2=16. 由a2>0,解得 a2=6.
当n=3时有(a3+2)/2=,
S3=a1+a2+a3将a1=2,a2=6代入,整理得
(a3-2)2=64. 由a3>0,解得 a3=10.
故该数列的前3项为2,6,10.
(2)解:由(1)猜想数列{an}有通项公式an=4n-2.
下面用数学归纳法证明数列{an}的通项公式是 an=4n-2 (n∈N).
①当n=1时,因为4×1-2=2,又在(1)中已求出a1=2,所以上述结论成立.
②假设n=k时结论成立,即有ak=4k-2.由题意,有 (ak+2)/2=
将ak=4k-2代入上式,得 2k=,解得Sk=2k2.
由题意,有
由ak+1>0,解得: ak+1=2+4k. 所以 ak+1=2+4k=4(k+1)-2.
这就是说,当n=k+1时,上述结论成立.
根据①、②,上述结论对所有的自然数n成立.
(3)解:令cn=bn-1,则