(理工农医类)参考答案
一、选择题(本题考查基本知识和基本运算)
1.C 2.B 3.C 4.B 5.D
6.D 7.B 8.C 9.A 10.D
11.B 12.C 13.A 14.D 15.A
二、填空题(本题考查基本知识和基本运算)
三、解答题
21.本小题主要考查复数基本概念和几何意义,以及运算能力.
解:设Z1,Z3对应的复数分别为z1,z3,依题设得
22.本小题主要考查三角恒等式和运算能力.
解: 原式=1/2(1-cos40°)+1/2(1+cos100°)+sin20°cos50°
=1+1/2(cos100°-cos40°)+1/2(sin70°-sin30°)
=3/4-sin70°sin30°+1/2sin70°
=3/4
23.本小题主要考查空间线面关系、圆柱性质、空间想象能力和逻辑推理能力.
(1)证明:根据圆柱性质,DA⊥平面ABE.
∴EB平面ABE
∴DA⊥EB.
∵AB是圆柱底面的直径,点E在圆周上,
∴AE⊥EB,又AE∩AD=A,
故得EB⊥平面DAE. ∴DF平面DAE ∴EB⊥AF. 又AF⊥DE,且EB∩DE=E, 故得AF⊥平面DEB. ∵DB平面DEB ∴AF⊥DB. |
(2)解:过点E作EH⊥AB,H是垂足,连结DH.根据圆柱性质,平面ABCD⊥平面ABE,AB是交线.且EH平面ABE,
所以EH⊥平面ABCD.
又DH平面ABCD,所以DH是ED在平面ABCD上的射影,从而∠EDH是DE与平面ABCD所成的角.
设圆柱的底面半径为R,则DA=AB=2R,于是 V圆柱=2πR3, 由V圆柱:DA=BE=3π,得EH=R,可知H是圆柱底面的圆心, AH=R, |
24.本小题主要考查运用所学数学知识和方法解决实际问题的能力,以及函数的概念、方程和不等式
的解法等基础知识和方法.
解:(1)依题设有
② 0≤t ≤
25.本小题主要考查等比数列、对数、不等式等基础知识,考查推理能力以及分析问题和解决问题的
能力.
(1)证明:设{an}的公比为q,由题设a1>0,q>0.
(i)当q=1时,Sn=na1,从而
Sn-Sn+2-Sn+12
=na1-(n+2)a1-(n+1)2a12
=-a12<0
(ii)当q≠1时,Sn=a1(1-qn)/(1-q),从而
Sn-Sn+2-Sn+12
=[na12·(1-qn)(1-qn+2)]/a12(1-qn+1)2/(1-q)2
=-a12qn<0
由(i)和(ii)得Sn-Sn+2<Sn+12,根据对数函数的单调性,知
lg(Sn-Sn+2)<lgSn+12,
即(lgSn+lgSn+2)/2<lgSn+1,
(2)解:不存在:
证明一要使
lg(Sn-c)+lg(Sn+2-c)/2=lg(Sn+1-c),成立,则有
(Sn-c)(Sn+2-c)=(Sn+1-c)2 ① | |
Sn-c>0 ② |
分两种情况考虑
当q=1,时 (Sn-c)(Sn+2-c)-(Sn+1-c)2
=(na1-c)[(n+2)a1-c]-[(n+1)a1-c]2
=-a12<0
可知,不满足条件①,即不存在常数c>0,使结论成立.
(ii)当q≠1时,若条件①成立,因为
(Sn-c)(Sn+2-c)-(Sn+1-c)2
=[a1(1-qn)/(1-q)-c][a1(1-qn+2)/(1-q)-c]-[a1(1-qn+1)/(1-q)-c]2
=-a1qn[a1-c(1-q)],
此时,因为c>0,a1>0,所以0<q<1.
当0<q<1时,Sn-a1/(1-q)=a1qn/(1-q)<0,不满足条件②,即不存在常数c>0,使结
论成立.
综合(i)、(ii),同时满足条件①、②的常数c>0不存在,即不存在常数c>0,使
[lg(Sn-c)+lg(Sn+2-c)]/2=lg(Sn+1-c)
证法二:用反证法,假设存在常数c>0,使
则有
由④得
SnSn+2-S2n+1=c(Sn+Sn+2-2Sn+1).⑤
根据平均值不等式及①、②、③、④知
Sn+Sn+2-2Sn+1
=(Sn-c)+(Sn+2-c)-2(Sn+1-c)
因为c>0,故⑤式右端非负,而由(1)知,⑤式左端小于零,矛盾.故不存在常数c>0,使
26.本小题主要考查直线、椭圆的方程和性质,曲线与方程的关系,轨迹的概念和求法,利用方程判
定曲线的性质等解析几何的基本思想和综合运用知识的能力.
解法一:由题设知点Q不在原点.设P、R、Q的坐标分别为(xp,yp),(xR,yR),其中x,y不同时
为零.
当点P不在y轴上时,由于点R在椭圆上及点O、Q、R共线,得方程组
xR2/24+yR2/16=1 | |
yR/xR=y/x |
解得
xR2=48x2/(2x2+3y2) ① | |
yR2=48y2/(2x2+3y2) ② |
由于点P在直线l上及点O、Q、P共线,得方程
xP/12+yP/18=1 | |
yP/xP=y/x |
解得
解法二:由题设知点Q不在原点.设P,R,Q的坐标分别为(xp,yp),(xR,yR),(x,y),其中x,y不同时
为零.
设OP与x轴正方向的夹角为α,则有
xp=│OP│cosα,yp=│OP│sinα;
xR=│OR│cosα,yR=│OR│sinα;
x=│OQ│cosα,y=│OQ│sinα;
由上式及题设|OQ|·|OP|=|OR|2,得
xp=|OP|/|OQ|x ① | |
yp=|OP|/|OQ|y ② |
xR2=|OP|/|OQ|x2 ③ | |
yR2=|OP|/|OQ|y2 ④ |
由点P在直线l上,点R在椭圆上,得方程组
xP/12+yP/18=1 ⑤ | |
xR2/24+yR2/16=1 ⑥ |
将①,②,③,④代入⑤,⑥,整理得点Q的轨迹方程为
(x-1)2/(5/2)+(y-1)2/(5/3)=1(其中x、y不同时为零)
与x轴平行的椭圆、去掉坐标原点.