1996年普通高等学校招生全国统一考试
数学试题(文史类)参考解答及评分标准
说明:
一.本解答指出了每题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供参考,如果考生的
解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.
二.对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和难
度,可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后继部
分的解答有较严重的错误,就不再给分.
三.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数.
四.只给整数分数,选择题和填空题不给中间分.
一.选择题:本题考查基本知识和基本运算,第(1)—(10)题每小题4分,第(11)—(15)题每小题5分.
满分65分.
(1)C (2)A (3)D
(4)B (5)C
(6)D (7)A (8)D
(9)A (10)C
(11)B (12)D (13)C
(14)A (15)B
二.填空题:本题考查基本知识和基本运算.每小题4分,满分16分.
(16)4 (17)32 (18) (19)
/4
三.解答题
(20)本小题考查对数函数性质,对数不等式的解法,分类讨论的方法和运算能力,满分11分.
解:(Ⅰ)当a>1时,原不等式等价于不等式组:
解得 x>2a-1.
5分
(Ⅱ)当0<a<1时,原不等式等价于不等式组:
7分
解得 a-1<x<2a-1.
10分
综上,当a>1时,不等式的解集为{x│x>2a-1};
当0<a<1时,不等式的解集为{x│a-1<x<2a-1}.
11分
(21)本小题主要考查等比数列的基础知识,逻辑推理能力和运算能力.满分12分.
解:若q=1,则有S3=3a1,S6=6a1,S9=9a1.但a1≠0,即得S3+S6≠2S9,与题设矛盾,故q≠1.
2分
又依题意S3+S6=2S9可得
a1(1-q3)/(1-q)+a1(1-q6)/(1-q)=2a1(1-q9)/(1-q)
整理得q3(2q6-q3-1)=0.
由q≠0得方程 2q6-q3-1=0.
(2q3+1)(q3-1)=0,
9分
∵ q≠1,q3-1≠0,
∴ 2q3+1=0,
∴ q=-/2
(22)本小题考查三角函数基础知识,利用三角公式进行恒等变形和运算能力.满分12分.
解法一:由题设条件知B=60°,A+C=120°.
2分
∵ -/cos60°=-2
∴ 1/cosA+1/cosC=-2
将上式化为 cosA+cosC=-2cosAcosC
利用和差化积及积化和差公式,上式可化为
2cos{(A+C)/2}cos{(A-C)/2}=-{cos(A+C)+cos(A-C)} 6分
代入上式并整理得
∴
解法二:由题设条件知
B=60°,A+C=120°.
设α=A-C/2 则A-C=2α, 可得A=60°+α, C=60°-α 3分
所以
7分
依题得
∴ 2cosα=0
从而得:
(23)本小题考查空间线面关系,正三棱柱的性质,逻辑思维能力,空间想象能力及运算能力.满分12分.
(Ⅰ)②∵BE:CF=1:2,
∴DC=2DB,
∴DB=BC, 1分
③∵△ABD是等腰三角形,
且∠ABD=120°,
∴∠BAD=30°,
∴∠CAD=90°, 3分
④∵FC⊥面ACD,
∴CA是FA在面ACD上的射影,
且CA⊥AD, 5分
⑤∵FA∩AC=A,
DA⊥面ACF,DA面ADF
∴面ADF⊥面ACF. 7分
(Ⅱ)解: ∵VA1-AEF=VE-AA1F
在面A1B1C1内作B1G⊥A1C1,垂足为G.
BG=a/2
面A1B1C1⊥面A1C,
∴B1G⊥面A1C,
∵E∈BB1,而BB1∥面A1C,
∴三棱柱的高为a/2 9分
S△AA1F=AA1·AC/2=a2/2 10分
∴VA1-AEF=VE-AA1F=a4/4 12分
(24)本小题主要考查运用数学知识和方法解决实际问题的能力,指数函数和二项式定理的应用,近似
计算的方法和能力.满分10分.
解:设耕地平均每年至多只能减少x公顷,又设该地区现有人口为p人,粮食单产为M吨/公顷.
依题意得不等式
M(1+22%)(104--10x)/P(1+10%)10≥M·104·(1+10%)/P
化简得x≤
∴x≤4(公顷)
答:按规划该地区耕地平均每年至多只能减少4公顷.
10分
(25)本小题主要考查直线与双曲线的性质,解析几何的基本思想,以及综合运用知识的能力.满分12分.
解:依题设:l1、l2都存在,因为l1过点p
且与双曲线有两个交点,故方程组
① 1分
有两个不同的解,在方程组①中消去y, 整理得
(k12-1)x2+2k12x+2k12-1=0 ②
若(k12-1)=0,则方程①只有一个解,则l1与双曲线只有一个交点,与题设矛盾.故(k12-1)≠0,
|k1|=1.方程②的判别式为△1=(2k12)2-4(k12-1)(2k12-1)=4(3k12-1)
设l2的斜率为k2 ,因为l2过点p
且与双曲线有两个交点,故方程组
③
有两个不同的解,在方程组①中消去y, 整理得
(k22-1)x2+2k22x+2k22-1=0 ④
同理有(k22-1)≠0, △2=4(3k22-1)
又因为l1⊥l2,所以有k1·k2=-1
4分
于是,l1、l2与双曲线各有两个交点,等价于
解得 6分
∴ k1∈(-,-1)∪(-1,-
/3)∪(-
/3,1)∪(1,
) 7分
(Ⅱ)双曲线y2-x2=1的顶点为(0,1)、(0,-1).取A1(0,1)时,有
k1(0+)=1, 解得k1=
/2. 从而k2=-/k1=-
. 8分
将k2=-代入方程④得 x2+4
x+3=0 ⑤
记l2与双曲线的两交点为A2(x1,y1)、B2(x2,y2),则
│A2B2│2
=(x1-x2)2+(y1-y2)2=3(x1-x2)2=3[(x1+x2)2-4x1x2].
由⑤知x1+x2=-4 x1x2=3
∴ │A2B2│2 =60,│A2B2│=2 11分
当取A1(0,-1)时,由双曲线y2-x2=1关于x轴的对称性,知 │A2B2│=2
所以l1过双曲线的一个顶点时,│A2B2│=2 12分