1998年全国高校招生数学统考试题(文史类)
一、选择题:本大题共15小题;第(1)-(10)题每小题4分,第(11)-
(15)题每小题5分,共65分。在每小题给出的四项选项中,只有一项是符合
题目要求的。
(1)sin600°的值是
(A)1/2 (B)-1/2 (C)
/2 (D)-
/2
(2)函数y=a|x|(a>1)的图象是
(3)已知直线x=a(a>0)和圆(x-1)2+y2=4相切,那么a的值是
(A)5 (B)4 (C)3 (D)2
(4)两条直线A1x+B1y+C1=0,A2x+B2y+C2=0垂直的充要条件是
(A)A1A2+B1B2=0 (B)A1A2-B1B2=0
(C)A1A2/B1B2=-1 (D)B1B2/A1A2=1
(5)函数f(x)=1/x(x≠0)的反函数f-1(x)=
(A)x(x≠0) (B)1/x(x≠0)
(C)-x(x≠0) (D)-1/x(x≠0)
(6)已知点P(sinα-cosα,tgα)在第一象限,则[0,2π)内α的取值范围是
(A)(π/2,3π/4)∪(π,5π/4) (B)(π/4,π/2)∪(π,5π/4)
(C)(π/2,3π/4)∪(5π/2,3π/2) (D)(π/4,π/2)∪(3π/4,π)
(7)已知圆锥的全面积是底面积的3倍,那么该圆锥的侧面积展开图扇形的圆
心角为
(A)120° (B)150° (C)180° (D)240°
(8)复数-i的一个立方根是i,它的另外两个立方根是
(A)
/2±1/2 (B)-
/2±1/2i
(C)±
/2+1/2i (D)±
/2-1/2i
(9)如果棱台的两底面积分别是S,S',中截面的面积是S0,那么
(A)2
=
+
(B)S0=
(C)2SO=S+S'
(D)S02=2S'S
(10)2名医生和4名护士被分配到2所学校为学生体检,每校分配1名医生和2
名护士。不同的分配方法共有
(A)6种 (B)12种 (C)18种 (D)24种
(11)向高为H的水瓶中注水,注满为止,如果注水量V与深h的函数关系的图象
如右图所示,那么水瓶的形状是
(12)椭圆x2/12+y2/3=1的焦点为F1,点P在椭圆上,如果线段PF1的中点M在
y轴上,那么点M的纵坐标是
(A)±
/4 (B)±
/2 (C)±
/2 (D)±3/4
(13)球面上有3个点,其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的1/6,经过
这3个点的小圆的周长为4π,那么这个球的半径为
(A)4
(B)2
(C)2 (D)
(14)一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列,其最小内角为
(A)arccos
-1/2 (B)arcsin
-1/2
(C)arccos1-
/2 (D)arcsin1-
/2
(15)等比数列{an}的公比为-1/2,前n项的和Sn满足
Sn=1/a1,那么a1
的值为
(A)±
(B)±3/2 (C)±
(D)±
/2
二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分,把答案填在题中横线上。
(16)设圆过双曲线x2/9-y2/16=1的一个顶点和一个焦点,圆心在双曲线上,
则圆心到双曲线中心的距离是_____。
(17)(x+2)10(x2-1)的展开式x10的系数为______(用数字作答)。
(18)如图,在直四棱柱A1C1D1-ABCD中,当底面四边形ABCD满足条件____
时,有A1C⊥B1D1。(注:填上你认为正确的一种条件即可,不必考虑所
有可能的情形。)
(19)关于函数F(x)=4sin(2x+π/3)(x∈R),有下列命题:
①由f(x1)=f(x2)=0可得x1-x2必是π的整数倍;
②y=f(x)的表达式可改写为y=4cos(2x-π/6);
③y=f(x)的图象关于点(-π、6,0)对称;
④y=f(x)的图象关于直线x=-π/6对称。
其中正确的命题的序号是_____。(注:把你认为正确的命题的序号都填上。)
三、解答题:本大题共6小题;共69分。解答应写出文字说明、证明过程或演
算步骤。
(20)(本小题满分10分)设a≠b,解关于x的不等式
a2x+b2(1-x)≥[ax+b(1-x)]2.
(21)(本小题满分10分)在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,设a+c=2b,
A-C=π/3,求sinB的值。以下公式供解题时参考:
sinθ+sinφ=2sinθ+φ/2cosθ-φ/2,
sinθ-sinφ=2cosθ+φ/2sinθ-φ/2,
cosθ+cosφ=2cosθ+φ/2cosθ-φ/2,
cosθ-cosφ=-2sinθ+φ/2sinθ-φ/2
(21)(本小题满分11分)如图,直线l1和l2相交于点M,l1⊥l2,点N∈l1。
以A、B为端点的曲线段C上的任一点到l2的距离与点N的距离相等。若
△AMN为锐角三角形,|AM|=
,|AN|=3,且|BN|=6。建立适当的坐标
系,求曲线C的方程。
(22)(本小题满分12分)如图,为处理含有某种杂质的污水,要制造一底
宽为2米的无盖长方体沉淀箱。污水从A孔流入,经沉淀后从B孔流出。
设箱体的长度为a米,高度为b米。已知流出的水中该杂质的质量分数
与a,b的乘积ab成反比。现有制箱材料60平方米。问当a,b各为多少米
时,经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A、B孔的面积忽略
不计)。
(23)(本小题满分12分)已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的侧面A1ACC1与底面ABC
垂直,∠ABC=90°,BC=2,AC=2
,且AA1⊥A1C,AA1=A1C。
(Ⅰ)求侧棱A1A与底面ABC所成角的大小;
(Ⅱ)求侧面A1ABB1与底面ABC所成二面角的大小;
(Ⅲ)求顶点C到侧面A1ABB1的距离。
(24)(本小题满分12分)设曲线C的方程是y=x3-x,将C沿x轴、y轴正向分
别平行移动t、s单位长度后得曲线C1。
(Ⅰ)写出曲线C1的方程;
(Ⅱ)证明曲线C与C1关于点A(t/2,s/2)对称;
(Ⅲ)如果曲线C与C1有且仅有一个公共点,证明s=t3/4-t且t≠0。
(25)(本小题满分12分)已知数列{bn}是等差数列,b1=1,b1+b2+…+b10=145。
(Ⅰ)求数列{bn}的能项bn;
(Ⅱ)设数列{an}的通项an=loga(1+1/bn)(其中a>0,且a≠1),记Sn是
数列{an}的前n项的和。试比较Sn与1/3logabn+1的大小,并证明你
的结论。